\(ĐKXĐ:x\ne0\)

\(A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2}{x^2}+12}+\sqrt{\left(x+2\right)^2-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4-6x^2+9}{x^2}+\frac{12x^2}{x^2}}+\sqrt{x^2+4x+4-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4-6x^2+9+12x^2}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(x^2+9\right)^2}{x^2}}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)

\(=\frac{x^2+9}{\left|x\right|}+\left|x-2\right|=\frac{x^2}{\left|x\right|}+\frac{9}{\left|x\right|}+\left|x-2\right|\)

Vì \(x\inℤ\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left|x\right|}\inℕ\), \(\left|x-2\right|\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\)Để A có giá trị nguyên thì \(\frac{9}{\left|x\right|}\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\left|x\right|\in\left\{1;3;9\right\}\)\(\Rightarrow x\in\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)

1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

3.

Nối AI kéo dài cắt BC tại D thì D là chân đường vuông góc của đỉnh A trên BC

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\dfrac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)

\(\Leftrightarrow b.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}\) (1)

Mặt khác:

\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a.\overrightarrow{IA}\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}-\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

\(M=\dfrac{7\sqrt{a}-2}{2\sqrt{a}+1}\left(đk:a\ge0\right)=\dfrac{3\left(2\sqrt[]{a}+1\right)+\sqrt{a}-5}{2\sqrt{a}+1}=3+\dfrac{\sqrt{a}-5}{2\sqrt{a}+1}\)

Để \(M\in Z,M>0\) thì \(\sqrt{a}-5\ge0\Leftrightarrow a\ge25\) và:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}-5⋮2\sqrt{a}+1\\2\sqrt{a}+1⋮2\sqrt{a}+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{a}-10⋮2\sqrt{a}+1\\2\sqrt{a}+1⋮2\sqrt{a}+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2\sqrt{a}+1\right)-\left(2\sqrt{a}-10\right)⋮2\sqrt{a}+1\)

\(\Rightarrow11⋮2\sqrt{a}+1\Rightarrow2\sqrt{a}+1\inƯ\left(11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

Do \(\sqrt{a}\ge0\forall a\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}\in\left\{0;5\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{0\left(loại\right);25\left(nhận\right)\right\}\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x-3\le0\\x^2-2mx+m^2-9\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x^2-2mx+m^2-9\ge0\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-9\ge0\) có nghiệm \(x\in\left[-1;3\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-m^2+9=9>0,\forall m\\-1< m< 3\\f\left(-1\right)=m^2+2m-8\ge0\\f\left(3\right)=m^2-6m\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in[2;3)\cup(-1;0]\)

a. ĐK: \(x\ge0,x\ne49\)

\(M=\frac{3\left(\sqrt{x}+7\right)-\left(\sqrt{x}-7\right)}{\left(\sqrt{x}-7\right)\left(\sqrt{x}+7\right)}:\frac{2\sqrt{x}+6}{x-49}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}+28}{x-49}.\frac{x-49}{2\sqrt{x}+6}=\frac{2\sqrt{x}+28}{2\sqrt{x}+6}\)

b. M nguyên \(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}+28}{2\sqrt{x}+6}\in Z\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}+6+22}{2\sqrt{x}+6}\in Z\Rightarrow1+\frac{22}{2\sqrt{x}+6}\in Z\Rightarrow\frac{22}{2\sqrt{x}+6}\in Z\Rightarrow\left(2\sqrt{x}+6\right)\inƯ\left(22\right)\)

Đến đây đã rất dễ dàng rồi nhé ^^

đề không cho tìm x NGUYÊN để m nguyên mà chỉ tìm các điểm x để  m nguyên thôi

Hồ Thị Hải Yến: Đúng rồi em, ta chỉ cần tìm x để Z nguyên thôi, x không cần nguyên. Chú ý một điều là \(2\sqrt{x}+6\ge6\) nên e chỉ cần chú ý các ước lớn hơn 6 của 22 thôi nhé :)